Rencontres autour des séries formelles arithmétiques

6, 7 et 8 septembre 2011

Institut Fourier, Grenoble

Ces rencontres sont organisées par Boris Adamczewski, Stéphane Fischler, Tanguy Rivoal, Julien Roques et Lucia Di Vizio, avec le soutien des projets de l'ANR Q-DIFF et HAMOT, de l'Institut Fourier et du GDR STN.

Le but de ces rencontres est de réunir des mathématiciens de divers horizons autour des séries formelles arithmétiques. Par cela, nous entendons principalement les E-fonctions et G-fonctions de Siegel, qui sont  régies en particulier par des équations différentielles linéaires, et leurs analogues régies par des équations aux q-différences et aux différences. L'étude des ces séries prend sa source dans des questions d'arithmétique (par exemple, nature des valeurs en des points algébriques) et elle utilise naturellement des outils classiques d'arithmétique (analyse diophantienne et analyse p-adique). Cependant, cette étude se ramifie dans de nombreuses directions qui seront abordées à des degrés divers lors de ces rencontres : automates finis, diagonales de fractions rationnelles, équations différentielles fuchsiennes, séries Gevrey, séries génératrices en combinatoire et physique, etc.

Les personnes intéressées par ces rencontres sont priées de contacter l'un des organisateurs. Les orateurs seront :

    Boris Adamczewski (CNRS, Lyon),    Jean-Paul Allouche (CNRS, Paris 6),    Alin Bostan (INRIA, Rocquencourt),    Frits Beukers (Utrecht),    Gilles Christol  (Paris 6),    Gilles Damamme (Caen),     Lucia Di Vizio (CNRS, Paris 6),    Stéphane Fischler (Paris-Sud),    Jacques-Arthur Weil (Limoges),    Changgui Zhang (Lille 1).

En préambule des rencontres, le matin du mardi 6 septembre, Eric Delaygue soutiendra à sa thèse de doctorat sur les Propriétés arithmétiques des coefficients de Taylor des applications miroir.


Planning des rencontres


Tous les exposés auront lieu en salle 04 de l'Institut Fourier. Pour venir à l'Institut Fourier depuis la gare de Grenoble, il faut prendre le tram B direction GIÈRES, PLAINE DES SPORTS jusqu'à l'arrêt "Bibliothèques Universitaires". Le billet s'achète et se composte sur le quai (et non pas dans le tram). Descendre à l'arrêt "Bibliothèques Universitaires". l'Institut Fourier est le bâtiment vers lequel se dirige le tram avant de tourner à droite pour marquer cet arrêt. Aller jusqu'à l'extrémité arrière du quai puis traversez les rails. Vous vous trouvez alors en face du Restaurant "Martins Café", que vous devez contourner par la gauche. Une fois derrière, vous voyez les bâtiments de l'Institut Fourier, situé au 100 rue des maths. La salle 04 est au rez-de-chaussée.  En cas de besoin, vous pouvez contacter  l'accueil de l'Institut Fourier au 04 76 51 46 56. Un plan est disponible ici.

- Boris Adamczewski : Coefficients nuls de séries formelles et équations diophantiennes

    Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux séries formelles f(t_1 , . . . , t_d) de d variables à coefficients dans un corps K de caractéristique non nulle et qui sont algébriques sur le corps des fractions rationnelles K(t_1,...,t_d). Plus précisément, il s'agit de décrire l'ensemble des indices (n_1 , . . . , n_d) appartenant à N^d pour lesquels les coefficient d'indice correspondant de f(t_1 , . . . , t_d) est nul. Je présenterai un résultat indiquant que de tels ensembles peuvent être reconnus par des automates finis. Je discuterai ensuite de quelques applications arithmétiques de cet énoncé.   Il s'agit d'un travail commun avec Jason Bell.

- Jean-Paul Allouche : Séries formelles algébriques

    Nous nous proposons de survoler quelques propriétés des séries formelles à coefficients dans Q ou dans un corps fini F qui sont algébriques sur Q(X), respectivement sur F(X).  Au passage seront évoqués le théorème d'Eisenstein-Heine, le théorème de Chomsky-Schützenberger, le théorème de Christol, des démonstrations « élémentaires » de transcendance pour des valeurs des fonctions de Carlitz, et les développements en fraction continuée de certaines de ces séries (pour lesquels la meilleure source reste les travaux de Lasjaunias). Nous conclurons par deux « rêves » : l'un concerne la question de pouvoir généraliser le théorème de Christol à une caractérisation « combinatoire » des séries (sur un corps fini) algébriquement indépendantes ; l'autre la recherche d'une définition des séries D-finies (ou holonomes) à coefficients dans un corps fini qui soit « pertinente » et qui ait une interprétation combinatoire.

- Frits Beukers : Transcendence of values of E-functions revisited

    The word E-function stands for power series expansions in one variable which carry a great deal of similarity with the ordinary exponential function. They were introduced by C. L. Siegel in the 1920's in his work on transcendence of values of Bessel functions. A. B. Shidlovsky formulated an elegant theorem which transfers the algebraic independence of E-function values to the functions themselves. In the present lecture we will show how Y. André's ideas on E-functions yield a refined version of Shidlovsky's theorem, which also proves a conjecture by Nesterenko and Shidlovsky.

- Alin Bostan : Symbolic Analysis for Lattice Path Combinatorics

     We give an overview of a recent line of research showing how several problems of enumerative combinatorics can be systematically solved using an experimental-mathematics approach combined with modern computer algebra algorithms. We describe the computer-driven discovery and proof of structural properties and closed forms for generating functions coming from enumeration of lattice walks with small steps in the quarter plane. The results are taken from several joint works with Frédéric Chyzak, Philippe Flajolet, Mark van Hoeij, Manuel Kauers, Lucien Pech and Karol Penson.

- Gilles Christol : Calcul du rayon de convergence p-adique de l'exponentielle d'un polynôme

    Nous présentons un algorithme (en cours d'implantation) pour calculer le rayon de convergence p-adique de l'exponentielle d'un polynôme. Cet algorithme permet calculer la fonction "rayon de convergence" de l'équation différentielle y'=f.y pour toute fraction rationnelle f. Le résultat se présente sous forme d'un  arbre.

- Gilles Damamme : Transcendance d'un analogue de la constante de Catalan dans un corps de séries formelles

    On définit sur un corps fini F des caractères χ et des séries L de Dirichlet dans la même optique que pour la fonction zêta de Carlitz. Pour certains caractères associés à des polynômes à coefficients dans F de degré 1, L(1, χ) représente un analogue de la constante de Catalan. Je prouve dans ce cas que L(1, χ) est transcendant.

- Lucia Di Vizio : Modules différentiels de type G et le théorème de Chudnovsky en plusieurs variables

    Je vais présenter les résultats fondamentaux sur les modules différentiels de type G de plusieurs variables, notamment le théorème de Chudnovsky et les résultats de régularité pour les modules différentiels globalement nilpotents.

- Stéphane Fischler : Valeurs de G-fonctions

    Soit α un nombre réel, qui est la valeur en un point algébrique d'une G-fonction (au sens de Siegel). On montre que α peut s'écrire F(1), où F est une G-fonction à coefficients rationnels dont le rayon de convergence peut être choisi arbitrairement grand. Comme application, on montre aussi que les quotients de telles valeurs sont exactement les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme lim a_n/b_n, où sum_{n>=0} a_n z^n et sum_{n>=0} b_n z^n sont des G-fonctions à coefficients rationnels. Cela répond à une question de Tanguy Rivoal, avec qui ce travail est en commun.

- Jacques-Arthur Weil : G-fonctions et mécanique statistique

- Changgui Zhang :  Sur le comportement modulaire du produit infini (1-x)(1-xq)(1-xq^2)(1-xq^3)...

    Soit q=exp(2iπτ), Im(τ)>0, x=exp(2iπξ) dans C et (x;q) ͚ =prod_{n>= 0}(1- xq^n). Soit (q,x) --> (q',u(q) x) la substitution modulaire donnée par q'=exp(-2iπ/τ) et u(q) = exp(2iπξ/τ)/x. Le but de l'exposé est d'étudier le comportement modulaire du produit infini (x;q) ͚ , c'est-à-dire de comparer la fonction définie par (x;q) ͚ à celle par (u(q) x;q') ͚ . Inspiré par les travaux de Stieltjes sur des séries semi-convergentes, nous sommes parvenus à une formule analytique explicite pour le rapport log(x;q) ͚ /(u(q) x;q') ͚ au moyen du dilogarithme complété par une intégrale du type Laplace, cette dernière ayant une série divergente dans son développement de Taylor en log q=0. Ceci nous permet d'obtenir une expression reliant (x;q) ͚ à sa transformée modulaire (u(q) x;q') ͚ et qui contient essentiellement les formules modulaires connues pour la fonction eta de Dedekind, la fonction theta de Jacobi et aussi pour certaines séries de Lambert. Parmi d'autres applications, on remarquera que nos résultats permettent d'interpréter une formule de Ramanujan comme une expression convergente pour le produit infini (x;q) ͚ .